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下面是小编整理推荐的数学毕业论文，复积分的求法，欢迎大家阅读!
摘要：对比复积分的柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式，留数定理，来归纳出复变函数在简单闭曲线上积分的不同处理方法，对复积分的求解有着更清晰的认识。
关键词：复积分;柯西定理;柯西积分公式;高阶导数公式;留数定理
一、引言与预备知识
复变函数积分的概念和实变函数中定积分的概念类似，复积分存在条件是复变函数在光滑曲线C上连续，我们假定所遇到的复积分于曲线C上均连续，也就是我们以下讨论的复积分均存在。当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分可以转化为单变量积分，其求解方法与实变函数中定积分类似。在此仅讨论被积曲线C为简单闭曲线的情况。
定理一(柯西-古沙定理)如果函数在单连域内处解析，那么函数沿内任意一条闭曲线的积分为零，即
定理二(复合闭路定理)设C为多连域D内的一条简单闭曲线，C1，C，…，Cn是在C内部的简单闭曲线，且C1，C，…，Cn中的每一个都在其余的外部，以C，C1，C2，…，Cn为边界的区域全含于D。如果在D内解析，那么有
(1)，其中C及所有的Ck都取正向
(2)，这里为由C以及Ck-(k=1，2，…，n)所组成的复合闭路(其方向为：C按逆时针方向，Ck-按顺时针方向)。
定理三(柯西积分公式)如果在区域内D处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，那么
定理四(高阶导数公式)解析函数的导数仍为解析函数，它n的阶导数为
其中C为的解析区域D内包含z0在其内部的任意一条正向简单闭曲线，而且它的内部全属于D。
定义设函数在z0的去心领域内解析，点z0为的一个孤立奇点，C是任意正向圆周，则积分的值称为在z=z0处的留数，记为。
定理五(留数定理)设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C为D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，则
二、留数定理与其他积分公式之间的联系与区别
(一)孤立奇点的分类
设函数在z0的去心领域内处处解析，点z0为的一个孤立奇点，于是在内可展开成罗伦级数
留数Res[,z0]即为展开式中的C-1。
1、可去奇点当罗伦展开式中不含有负幂项时，即C-n=0(n=1,2,3,…)，则称孤立奇点z0为的可去奇点。
2、一阶极点当罗伦展开式中只含有一个负幂项时，即C-n=0(n=2，3，…)且C-1≠0，则称孤立奇点z0为的一阶极点。
3、m阶极点当罗伦展开式中只含有有限个负幂项时，设为m个，即存在正整数m，使C-m≠0且当n>m时C-n=0，则称孤立奇点z0为的m阶极点。
4、本性奇点当罗伦展开式中含有无限多个负幂项时，则称z0为的本性奇点。
(二)根据孤立奇点的分类求解积分
1、可去奇点
设孤立奇点z0为的可去奇点，由留数的定义知Res[,z0]=0，再由留数定理知
然而，柯西-古沙定理中的积分值也为零，前提是在单连域D内处处解析，C为D内任意一条闭曲线。
2、一阶极点
设孤立奇点z0为的一阶极点，闭曲线上的积分可以利用留数定理求解，也可以利用柯西积分公式。
例1计算积分
解法一由于有两个一阶极点1，-1,而这两个极点都在圆周C内，所以由留数定理知
解法二由于在圆周C内除了1,-1两点外解析，作很小的两个圆周C1，C2分别包含1,-1，且互不相交，也不相包含，都在C的内部，则有
由柯西积分公式知
3、m阶极点
设孤立奇点z0为的m阶极点，闭曲线上的积分可以利用留数定理求解，也可以利高阶导数公式。
例2计算积分
解法一由于有一个三阶极点z=1，在圆周C内，所以由留数定理知
解法二由于在圆周C内有一个三阶极点z=1，所以由高阶导数公式知
4、本性奇点
设孤立奇点z0为的本性奇点，闭曲线上的积分只可利用留数定理求解。
由此可见，运用留数定理求解简单闭曲线上的积分求解的情况更为广，而柯西积分公式和高阶导数公式则有其局限性。
参考文献
[1]杨巧林等编.复变函数与积分变换(第二版)[M].北京:机械工业出版社,2007.
[2]余家荣.复变函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2000.
[3]贺才兴.复变函数与积分变换[M].沈阳:辽宁大学出版社,1998.
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